3-35 多体结构热弹性耦合问题的有限元法

史平安 郁向东

　　多体结构热弹性问题是复杂的边界非线性问题。相互接触的传热体在一定的接触状态下，可以唯一地确定体内温度场，但温度场又作为温度载荷影响弹性场，使接触点的接触状态发生改变，这种变化又影响温度场的变化，因此在接触点上温度场、应力场和位移场相互耦合。用弹性接触问题的改进有限元混合法，把整个系统的总刚度方程凝缩到接触边界，形成接触内力的柔度方程，使整个接触迭代过程只需修改柔度矩阵，便能有效提高计算效率。

　　针对具有内部热源的接触传热问题，将接触边界引入未知热流量Q，根据变分原理将瞬态热传导问题转化为与具有内部热源的三维瞬态温度场等价的三重积分的可动端点变分问题。针对弹性接触问题，将接触边界引入未知外力R作为力的边界条件处理，并根据最小势能原理将弹性体平衡问题转化为最小势能问题，形成整体坐标系下的柔度方程[F]{R}={d₀}-[C₁]{P_I^C}-[C₂]{P_II^C},其中[F]={[D₃]-[C₁][D¢₁]-[C₂][D¢₂]}为柔度矩阵。

　　在改进的混合有限元法中，由于系数矩阵[C₁]、[C₂]仅在对角线上取0和1，根据接触状态可确定其值，而无需占用内存空间，求解时除了接触面柔度方程的迭代计算以外，对总刚度方程只需作一次求解运算，计算量明显减少，计算效率有较大提高。三个互相压缩的弹性块体（上部介质边界温度为490^oC，下部介质边界温度为20^oC, 其余边界为绝热，材料的热膨胀系数为 r=10^－41/^oC）受集中力p＝220MPa作用。按耦合热弹性接触分析，计算的温度分布见图1所示。其中虚线为不考虑耦合效应的结果，实线为考虑耦合效应的结果。从图中可看出，当不考虑耦合效应时物体沿整个界面接触，等温线接近于水平平行线。但由于下部介质的边界受到机械位移约束，因此由此温度场所产生的热变形使两界面的接触状态发生变化，接触区相对变小；接触传热条件也随之变化，从而反过来导致温度场的变化。

图1 温度分布规律图                       2 接触区附近的应力曲线

　　应力计算结果如图2所示，其中虚线为实测数据结果，实线为计算结果。可以看出，计算结果与实测结果基本一致。因此改进的混合有限元方法能有效地加快迭代过程，保证必要的计算精度，较好地应用于工程实际问题的热接触有限元分析。