3-4 正态多因素联合系统可靠性的置信下限

白林生 王 奎 王正良

　　在复杂工程系统中，性能型单元串联系统可靠性评估需要给出每个功能单元的失效界限，但由于条件限制，多数单元的失效界限给不出来，即使给出也非常保守，使评估结果与实际偏离较远。但发现这个系统具有另一特征，设定各功能单元因素为正态分布，一、二个功能单元因素超过各规定界限或使用界限，在一定范围内并不失效，而系统有一总的失效界限，当系统中正态多个因素造成超过总的失效界限时，系统失效。为此，研究正态多因素联合系统可靠性置信下限，评估这种系统的可靠性。

　　在结构可靠性模型中的一组观测数据（x₁，x₂，…，x_m；y₁，y₂，…，y_n）中，x₁，x₂，…，x_m来自总体服从N(m_x ,s²_x)的强度X的简单随机样本，y₁，y₂，…，y_n来自总体服从N(m_y , s²_y)的应力Y的简单随机样本，通过推导和证明可以给出可靠性R=P{X- Y>0}，置信水平为g 的一阶近似置信下限R⁽¹⁾_L=F(b-ug )s_x²。对正态多因素联合系统经变换可以通过推导和证明给出二因素可靠性R=P{X+Y>0}或R=P{X+Y>c}，三因素R=P{X+Y+Z>0}或R=P{X+Y+Z>c}，

　　置信水平为g 的一阶近似置信下限R⁽¹⁾_L=F(b-ug )sb₁，=(+y)[s_x²/(m- 1)+s_y²/(n-1)]^1/2，为观测值点估计，而s_b1通过公式由观测数据算出，对小样本应用时稍有些冒进。就一阶近似R⁽¹⁾_L的表达式，它不是统计量b的单调函数，这在计算时不够合理，但便于工程应用。

　　可以给出精确置信下限R（二因素联合系统）即P{R³ R}³g , 并且R是b 的单调函数，得到的解是最优单调置信下限，R=F(b)，只需求出b=（m_x+m_y）/(s²_x+s²_y)^-1/2的置信下限b。b是s²_x=a²s²_y条件下的依赖于b的置信水平为g 的精确置信下限。由观测值计算参数x，y，s_x²，s_y²，b计算b ，得到R=F(b )。

　　用计算机模拟求解d_a，便可得到b_a=d_a[(a²/m)+(1/n)]^1/2/(a²+1)^1/2。但用计算机求解的d^*_a是d_a的近似解，即b^*是b 置信水平g 精确置信下限的近似值。可用计算机模拟比较精确置信下限和一阶近似下限的优劣，当置信水平g=0.6时，R⁽¹⁾_L是稍偏冒进，而R的覆盖率在设定值g=0.6以上，显示了R的优越性，但也存在保守性。因此，应用时要权衡一下，为方便工程应用，尤其是高可靠性系统就选用R⁽¹⁾_L计算方法，如可靠性不是非常高，子样数又少，又要求精确些，就选用R计算法。