7-46  间断有限元方法求解流体力学方程组

蔚喜军

间断有限元方法是1973年由Reed和Hill首先提出，并应用于求解中子输运方程，但这种方法长期以来一直没有得到很好的研究和应用。直到20世纪80年代后期和90年代，Cockburn和Shu等结合Runge-Kutta方法，将间断有限元方法推广到非线性一维守恒率方程和方程组，高维守恒率方程和方程组，并给出了部分收敛性理论证明等，这一方法才引起人们的注意，并逐渐开始应用于流体力学计算领域。

间断有限元方法能够应用于流体力学计算领域，并受到人们的关注，主要在于它保持了通常有限元方法的优点：能够处理复杂的区域边界和具有复杂的边界条件问题，并获得与区域内部一致的计算精度；易于网格加密和高精度处理边界条件，实现自适应计算；可以得到任意阶精度的格式，同时又具有很好的局部紧致性，构造的高阶格式不需要非常宽的模板（Stencil）(实际上这比较符合守恒律方程的解的性质,，一般来说，模板太宽，会抹平激波)。同时由于间断有限元方法吸收了差分方法的一些特点，能够显式求解。因此，容易实现并行算法；并在运算时具有很好的稳定性，满足l²稳定性和熵相容性。

间断有限元方法的缺点是程序设计比较复杂和计算量大。然而近10年来，随着各种大型向量计算机和并行计算机的相继问世，间断有限元方法能够较为容易地把求解二维问题的方法推广到三维问题，实现自适应算法和并行算法。对于原来应用差分方法求解的流体力学问题, 由于定解的区域不规则或者边界条件难以处理, 逐步开始应用间断有限元方法进行求解。目前间断有限元方法除应用于守恒率方程计算外，同时也被应用于求解可压缩N-S方程和对流扩散方程的数值计算，特别在美国ASCI计划中，把这一方法应用于求解辐射流体力学问题等。

在二维三角形结构网格区域上应用一阶、二阶和三阶间断有限元方法，对于流体力学前台阶问题和双马赫反射问题进行模拟，并与差分方法计算结果比较，认为间断有限元方法在求解复杂边界条件和复杂区域问题上有一定的优势，图1~图3给出采用二阶精度有限元方法求解前台阶（图1，图2）和双马赫反射（图3）问题的计算结果，图1，图2密度为30条等值线，马赫数为3，时间为4。而图3密度仍为30条等值线范围为1.728~20.74，马赫数为10，时间为0.2，Dx=Dy=1/60。