3-15 基2快速傅里叶变换引入的不确定度估算

宋 琼

　　快速傅里叶变换是一种基本的数字信号处理工具，为了获得动态测量信号的频域信号因傅里叶变换引入的不确定度分量，开展了快速傅里叶变换的基2算法的不确定度估算研究。

　　首先通过研究基2快速傅里叶变换的原理，分析得到傅里叶变换的不确定度来源，通过巧妙选择分量，将叠形运算引入的不确定度分量和加窗以及栅栏效应引入的不确定度分量作为傅里叶变换引入的不确定度分量，避免了分量之间的相关系数的求取。

　　叠形运算引入的不确定度通过分析叠形运算原理，首先求出每一级的相对误差方差（s²=2^(-2B)/12，B为计算机字长），然后根据方差性质，推导得到误差的方差在级间运算的传递，其方差保持不变，从而求得叠形运算引入的不确定度u²_m= s²_m=8ms ²，m为傅里叶变换的级数。

表 1 几种窗函数的最大相对误差ε

　　通过分析得到，加窗和栅栏效应引入的最大误差为，信号频率处于傅里叶变换频率抽样的频率间隔的1/4处，可以根据各个窗函数的傅里叶变换的函数表达式求得窗函数以及栅栏效应引入的最大误差e （表1）。

　　窗函数傅里叶变换的主瓣接近于正弦分布，因此加窗和栅栏效应引入的误差分布为反正弦分布，包含因子取2^1/2。进而估算加窗以及栅栏效应引入的相对不确定度分量u²_rel2 =(e/2^3/2)²，最后将两个不确定度分量进行方差合成，得到基2快速傅里叶变换估算引入的不确定度u²_rel=u²_rel1+u²_rel2 。由于估算过程具有数学上的严格性，因此可以说估算结果是可信的。本文提出的估算结果可作为动态信号测量及处理中的基2傅里叶变换引入的不确定度分量估计。