6-3 求解三维扩散方程的两种差分格式

陈光南 李德元 万正苏 王一博

　　积分内插法格式求解三维扩散方程的差分计算，主要解决通过网格六个界面的扩散流的计算。利用积分内插法，通过相邻两网格中心与界面的4个顶点相连所构成的八面体来计算，保证不同物质之间界面扩散流的合理求解。关于八面体的8个面上的函数取值，可以用简单算术平均，也可以呈线性分布，这样三维扩散方程差分格式涉及7个网格中心量和8个网格顶点量。这些顶点上的函数值需要采用与它共同相邻的8个网格的中心量通过插值求得。插值公式可以采用算术平均，体积作权重的平均，用通量流连续方法插值平均等，从而构成了含有27个网格中心量的计算公式。

　　基于变分原理建立的离散化格式求解三维扩散方程的差分计算，主要解决求热流通量的泛函的极值。在网格W上扩散流|w|由它所围的6个面上的扩散流wx，wh，wz所组成，对它的计算采用8个局部三维坐标来表示。将扩散流泛函离散化并分别求出它对每个方向扩散流wx ，wh ，wz 导数等于零的方程，从而得到解扩散流的方程组。求出扩散流w后，再由温度函数满足的方程用隐式格式解出未知函数值u(x , y , z)。基于变分原理建立的三维扩散方程离散化格式包括21个未知量。在格式中不涉及网格顶点的量，所以给计算带来很大方便。

　　选择模型问题，其中包括线性的、非线性的以及带间断系数的，进行数值模拟，考察计算精度和对网格变形的适应能力。数值试验表明，在线性方程情况下，当正规网格时，无论是积分内插法，还是变分原理，所建立的格式在平方根模意义下，都具有二阶收敛速度。当网格出现变形时，两种方法的误差变化就有所差别。尤其在大变形的情况下，用变分原理建立的差分格式要比积分内插法收敛速度要快，误差要小，数值结果更好一些。积分内插法需要作插值求出网格顶点上的值，这对计算结果会有一定影响；其中用体积作权重插出网格顶点上的值比用算术平均插值要好一些。图1中0.1，0.2，0.3，0.4分别表示网格扰动幅度，图中方块表示用变分原理构造的差分格式的计算结果；圆点为用积分内插法构造的差分格式顶点值用算术平均计算结果；三角为用积分内插法构造的差分格式顶点值用体积权重的计算结果。

　　可以看出，这两种格式都具有在网格变形情况下进行正常计算的能力，并保持一定的收敛速度，由此说明方法的有效性。